HANOİ KULELERİ

 

        HANOİ KULELERİ

Hanoi kuleleri, bir matematik oyunu veya bulmacadır. Üç direk ve farklı boyutlarda disklerden oluşur. Bir algoritma ve matematik oyunudur. Algoritma oyunları içerisinde en eski oyunlardan biridir. Oyun 1883 yılında Fransız matematikçi Edouard Lucas tarafından yapılmıştır. Oyunda 3 direk ve 3 ile 6 arasında değişen diskler vardır. Bu diskleri dilediğiniz direğe aktarabilirsiniz. Bulmaca bir direkte en küçük disk yukarıda olacak şekilde, küçükten büyüğe direk üstünde dizilmiş olarak başlar. Böylece konik bir şekil oluşmuş olur. Hanoi Kuleleri ayrıca problem çözme (bilişsel psikoloji) görevi olarak da deneysel çalışmalarda kullanılır.

OYUNUN KURALLARI

• Hanoi kuleleri oyununda amaç; En sol taraftaki kulede bulunan diskleri, en sağ tarafta bulunan kuleye büyükten küçüğe doğru olacak şekilde yerleştirmektir
• Her hamlede sadece bir disk taşınabilir.
• Her hamle en üstteki diski direkten alıp diğer bir direğe taşımaktan oluşur. Diğer direkte daha önceden diskler olabilir.
• Zeka oyunudur.
• Küçük disklerin üstüne kendinden büyük disk koyamazsınız.
• Oyun en az 3 en fazla 6 disk ile oynanmaktadır. Disk sayısı arttıkça oyun zorlaşmaktadır.
• Disk sayısı arttıkça minimum hamle sayınızda buna göre değişmektedir. 
• Oyunda geri alma yoktur. Bu yüzden hamleleri dikkatli yapmak gerekir.
• Oyun içeriği İngilizcedir.

    HANOİ OYUN AÇIKLAMALARI

      Discs: Disk Sayısı
      Moves: Hamle Sayınız
      Min: Başarılı olabilmek için mevcut disk sayısı ile en az kaç hamle yapmanız gerektiği

EN KISA ÇÖZÜMLER

·         3 disk = 7 hareket

·         4 disk = 15 hareket

·         5 disk = 31 hareket

·         6 disk = 63 hareket

·         7 disk = 127 hareket

·         8 disk = 255 hareket

Sistemin çözümleri 2'nin disk sayısı kuvveti -1 üzerine dayalıdır.

“3 disk (2.2.2)-1=7”

“4 disk (2.2.2.2)-1=15”

“5 disk (2.2.2.2.2)-1=31”

“6 disk (2.2.2.2.2.2)-1=63”

“7 disk (2.2.2.2.2.2.)-1=127”

“8 disk (2.2.2.2.2.2.2)-1=255 hareket

Yani kuralı “2ⁿ-1” dir.

 

Hanoi kulelerinin çözümü için en basitten ilerleyelim ve yalnızca bir disk olduğunu düşünelim. Bu durumda yalnızca bir hamlede bu diski sağ tarafa alarak problemi çözebiliyoruz. Peki iki disk olduğu durumda ne oluyor? Amacım, sağ tarafa bu iki diski almak. Eğer küçük olanı sağ tarafa koyarsam, bu durumda büyük olanı ortaya koymak durumunda kalırım, bu da işleri uzatır. Oysa ki ben, en büyük olan diski sağ tarafa koymayı hedefliyorum. Bu durumda küçük diski ortaya koyar, ardından büyük olanı sağa koyar, ardından da ortaya koyduğum küçük diski, sağda bekleyen büyük diskin üstüne koyarım. Böylelikle üç hamlede problem çözülmüş olur. Bir disk için bir hamle, iki disk için üç hamle yeterli oldu.

 

3 DİSKİN ÇÖZÜMÜ

Hanoi kulelerinde üç disk için, yukarıdaki görselde çözüm gösteriliyor. Fakat bundan önce dikkatinizi çekmek istediğim nokta, çözdüğümüz iki soruda, yaptığımız hamlelerin nasıl olduğu? Bir diskte, ilk hamlemiz sağ sütuna oldu. İki diskte ise ilk hamlemiz orta sütuna oldu. Üç diskte ise ilk hamlemiz sağ sütuna olacak. Dikkat edin, problem aslında kendi içerisinde alt problemlere ayrılmış durumda. İki diskte, iki diski de sağ tarafa almak istiyorum. Öyleyse önce bir disk için problemi çözmeliyim. Bir disk için problemi çözdüğümde, geriye fazladan olan ikinci disk kalacak. Bunu da hedef konum olan, sağ sütuna koyabilirim. Öyleyse bir disk için problemi, ortada çözmeliyim.

Aynı mantığı üç disk için düşünelim. Üç diski sağ tarafa taşımak istiyorum. Öyleyse iki diski ortada toplamalıyım ki, fazladan olan en büyük disk sağ tarafa gelebilsin. İki diski ortada toplayabilmek için ise, bir üstteki adımın geçerli olduğunu göreceksiniz. Küçük olanı en sağa almalıyım ki, ikinci disk ortaya gelebilsin. Bu yüzden, üç diskli problemde, ilk hamle en sağa koyarak başlıyor.

Üç diskli problemin çözümünde, ilk hamlenin, bir diskli problemin çözümü, üçüncü hamlenin de iki diskli problemin çözümü olduğuna dikkat edin. Üç disk problemi, yedi basamakta çözüldüğüne göre, dört disk problemini çözerken, yedinci basamakta üç disk problemini çözmüş olmalıyız.

4 DİSKİN ÇÖZÜMÜ

HANOİ KULESİ EFSANESİ

Efsaneye göre Brahma tapınağında 64 adet farklı boyutlarda altından diskler bulunmaktaymış. Tapınağa gelenlere, bir oyun oynayıp kuralına göre oyunu bitirirlerse, tüm bu altın diskleri götürebilecekleri söylenirmiş. Oyunda öyle zor değilmiş. Altın disklerin birinci çubuktan üçüncü çubuğa aktarımını istiyorlarmış. Bunu yaparken de sadece bir şartları varmış: Birinci çubuktan üçüncü çubuğa diskleri taşırken büyük bir disk kendinden küçük diskin üzerine gelmeyecek.

Rahiplerin bildiği ama oyunu oynayanların bilmediği bu problemin çözümü için 18,446,744,073,709,551,615 hamle gerektiği. Hareketleri yaparken geçecek en iyimser tahmini süre 500 milyar yıl. 

Rahiplerin anlatmak istediği 64 diski yer değiştirecek zamanın milyarda biri kadar bir süre bile dünyada kalmayacak insanın hırslarının büyüklüğü müdür? Yoksa boş işlerle hayatın geçtiğini mi vurgulamaya çalıştılar. Bilinmez. Efsanenin altında hangi felsefi öğreti olursa olsun kaçınılmaz bir gerçek karşımızda durmaktadır: Matematik bilmenin zorunluluğu.

Sonu pek parlak değil aslında bu efsanenin. İnanışa göre 64 altın diskin yeri değiştiğinde geçecek süre aynı zamanda dünyanın sonunun habercisidir. Son altın diski koyan birileri olsa da para yine mutluluk getirmeyecektir.

Hanoi kulelerini oynamak isterseniz buraya tıklayabilirsiniz.

Bu haftaki yazımız bu kadardı. Keyifli okumalar dileriz. Haftaya yeni yazımızda görüşmek üzere.😊

Yazımız hakkında görüş bildirmeyi unutmayınız.