MATEMATİK VE MÜZİK İLİŞKİSİ

 

MATEMATİK VE MÜZİK İLİŞKİSİ

Matematik ve müzik ilişkisini incelemeye, doğal bir giriş olması için, bu iki alanın bazı tanımlarıyla başlamak gerekirse, matematik için genel anlamda “akıl yürütme yoluyla, soyut varlıkların (sayılar, geometrik şekiller, fonksiyonlar, uzaylar vb) özelliklerini ve bunlar arasında kurulan bağıntıları inceleyen bilim” diyebiliriz. Müzik için ise “insana, sesler aracılığıyla kendini anlatma olanağı veren sanat ve bu sanatın ürünleri” gibi genel bir tanım yapabiliriz.

Tarihsel olarak, ilk önce ritim, daha sonra müziğin ikinci önemli unsuru olan ezgi keşfedilmiştir. Modern müziğin temelini oluşturan armoni ise geçen bin yılın ikinci yarısında olgunlaşmıştır. Ne ilginçtir, müziğin tarihsel gelişimiyle matematiğin tarihsel gelişimi paralellik göstermektedir. Her ikisi de önce somut bir düşünceyle ortaya çıkmış daha sonra soyut-somut arasında salınıp durmuştur. Örneğin matematik nesne, saymayla başlamışken, müzik, ilkel toplumlarda dinsel ayinlerde çalınan ritim olmuştur. İnsan, müziğin ham maddesi olan sesleri yüzyıllar içinde yoğurarak günümüz tonal müziğini oluşturmuştur. Bu tarihsel gelişimde dönemin büyük matematik dehalarına taş çıkaracak matematiksel zekâya sahip J.S. Bach ve W.A. Mozart’ın payı büyük olmuştur. Özellikle Bach’ın en büyük hobisinin matematik olması ilginç bir tespittir. Bach müzikte devrimsel nitelikli füg sanatını geliştirirken matematiksel yaklaşımlardan destek almış ve müzikte yeni bir çığır açmıştır. Öte yandan matematik tarihinde müzisyen matematikçilere de rastlamak mümkündür. Örneğin; ünlü matematikçi olarak bilinen Pisagor aynı zamanda iyi bir müzisyen olup, müzikte oktavı bulmuştur.

Aynı şekilde müzik bestecileri ile tanışma fırsatı bulursanız eğer matematikçiler ile olan benzerlikleri hemen dikkatinizi çekecektir. Besteciler, yakaladıkları ezgiyi düzenlerken sürekli sayarlar, parmak hesabı yaparak sayılar mırıldanırlar. Gündelik hayatlarında da matematikçiler ile benzeşen birçok nokta olmakla birlikte analiz yetenekleri çok kuvvetlidir.

Modüler aritmetiğin güzel uygulamalarından olan müzik dizileri toplumdan topluma değişiklik gösterir. Örneğin batıda tam ve yarım seslerden oluşan majör ve minör diziler kullanılırken, doğuda komalı seslerden de yararlanılarak oluşturulmuş makamlar kullanılır. Heyecan uyandıran bir diğer önemli nokta LA notasıdır. Fiziksel olarak 440 khz frekanslı ses dalgası olarak bilinen LA “doğanın sesi” olarak bilinir. Telefonu ilk açtığınızda kesiksiz düüüt sesi ya da elektrik tellerindeki uğultu genellikle LA notasıdır. Bunun içindir ki müzisyenler akortlarını bu değişmez referans sese göre yaparlar.

Rakamları bu kadar aşikâr kullanan tek sanat dalı olan müziğin asıl ilgi çekici yönü, armoninin gelişmesiyle ortaya çıkmıştır. Farklı seslerin aynı andaki birlikteliğinden doğan uyum anlamına gelen armoni, aslen doğanın içinde hep vardır. İyi müzik kulağına sahip herhangi biri, doğanın birçok seslenişinde, belki kuşların ötüşünde ya da elektrik tellerinin uğuldamasında bu doğuşkan sesleri duyabilir. Örneğin tınılayan bir gitar telinin ardına daha az şiddetteki armonik sesleri ( doğuşkanları ) iyi müzik kulağına sahip herkes algılayabilir.

Yandaki şekilde görülen sınıflandırma, günümüzden yaklaşık 26 yüzyıl önceki Pisagor okulunun müfredatını gösteriyor. Burada aritmetik mutlak olan, müzik göreceli (bağıl) olan niceliklerle, geometri sabit duran, astronomi ise hareketli büyüklüklerle ilişkili olarak sınıflandırılmış. Acaba müziği neden matematiğin dalı olarak sınıflandırmışlardı? Bu sorunun yanıtını düşünürken müziğin kavram ve bileşenlerini gözden geçirmek cevabı bulmamıza yardım edecektir.

Müziksel Sesin Başlıca Özellikleri

Girişteki tanımlarda, müziğin öncelikle ses içermesi gerektiğine değinilmişti. Bu ses, genellikle müziksel bir ses olacaktır. Müziksel sesleri gürültü seslerinden ayıran özellik, müziksel seslerin ayırt edilebilir bir perde verebilme özelliğinin olmasıdır* . Bilindiği gibi perde, sesin tizlik derecesine ilişkin bilgiyi taşıyan parametresidir. Yani sesin temel frekansına bağlı bir tizlik derecesi (perde) algılanıyor. Bir sese ilişkin bir perdenin algılanabilmesinin ölçütü ise, o sesin periyodik olma derecesidir. Müziksel bir ses, zamana bağlı bir periyodik fonksiyon olarak düşünülebilir:

Şekil 2’de T periyoduyla periyodik olan bir ses yer alıyor, dikey eksen de şiddetini gösteriyor. Ancak doğal kaynaklı müziksel seslerin sınırlı bir süresi vardır ve yarı periyodik özelliktedirler (Şekil 3). Müziksel seslerin belirleyici özellikleri arasında “perde, şiddet ve süre”nin yanı sıra bir de tını, yani örneğin keman, flüt ve piyano seslerini birbirinden ayırmamızı sağlayan özellik bulunmaktadır. Tını, “sesin dokusu” olarak adlandırılabilir. Doğal müziksel ses zarfı örneğini gösteren şekilde, sesin şiddetindeki yükselme ve alçalmalar, nasıl söndüğü vb. gibi özellikler, o sese ilişkin tınıyı belirleyen özellikler arasındadır. Daha kapsamlı bir inceleme için ise harmoniklerine göz atmalıyız.

Gergin bir tel gibi titreşebilen yapılar, birden çok sayıda frekansta titreşir. Titreşimde temel frekansın yanı sıra yer alan “temel frekansın tamsayı katları”, harmonikler olarak adlandırılır (Şekil 4). Tını farkını belirleyen de, titreşen sistemlerin boyut, biçim, malzeme bakımından farkları nedeniyle gerek harmoniklerin, gerekse harmonik olmayan spektral bileşenlerin zaman içinde izledikleri ayrı genlik değişimlerinin (nasıl bir şiddet değeri konturu izleyip ne zaman söndüğü vb) farklı sistemler (titreşim kaynakları) için farklı olmasıdır. Böylece, tını farklarını inceleyebilmek için sesin frekans spektrumunun zaman içindeki değişiminin bilinmesi gerektiğinden, zaman– frekans gösterimi elde edilmelidir.

Efsaneye göre, Pisagor ellerinde çekiçlerle çalışan bazı demircilere rastlar. Çekiçlerden çıkan sesler birbiriyle çok uyumlu tınlamaktadır. Pisagor çekiçleri tarttığında ağırlıklarının (12:9:8:6) oranında olduğunu farkeder. Çekiç ağırlıklarıyla seslerinin temel frekansları arasında matematiksel bir ilişki kurmak doğal olarak pek olası değil; ama gergin bir telin boyu ile sesinin temel frekansı arasında kesin bir ilişki bulunuyor. Pisagorcular (12:9:8:6) oranlarından türettikleri (2:1), (3:2), (4:3) ve (9:8) oranlarını müzikteki esas aralıklar olarak kabul ettiler. Bu oranlar, tamsayı katlardaki frekansların tek bir oktav (başlangıç frekansı ile onun iki katı olan frekans arasındaki oktav) içine aktarıldığında başlangıç frekansına oranlarını belirtiyor. Pisagorcular, telin boyunu değiştirmek yoluyla bu “bağıl frekansları” kolayca hesaplayabiliyorlardı. (Müziği “bağıl niceliklerin” hesabıyla uğraşan bir öğreti olarak tanımladıklarını burada anımsamak yerinde olur.)

Karşılaşılan Bazı Özel Matematiksel Yapılar

Görsel sanat dallarının yanısıra müzikte de sıkça anılan bir konu “Fibonacci dizisi” ve “altın oran”dır. Fibonacci dizisi, ilk iki elemanı 1,sonraki her bir elemanın değeri kendisinden önceki son iki elemanın değerlerinin toplamına eşit olan dizidir.

 

biçiminde yazılabilir.

Bu denklemin pozitif kökü

Fibonacci dizisi = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...}

Bir piyano klavyesinin bir oktavlık bölümüne bakıldığında, diyatonik ve kromatik dizilerin bağlandığı başlangıç perdesi ile birlikte düşünülerek, Fibonacci dizisinin ilk yedi elemanı görülebilir.

                          Piyano klavyesi ve Fibonacci dizisi

Fibonacci dizisi sonsuza giderken dizinin her bir elemanının bir sonraki elemanına oranının yakınsadığı değer olan altın oranın geometrik anlamı, bir doğru ya da dikdörtgen bu oranda bölündüğünde, büyük parçanın bütüne oranının küçük parçanın büyük parçaya oranına eşit olmasıdır(Altın oran = 1,618).  Bestecilerin, yapıtlarında kimi zaman yapıtı oluşturan daha küçük bölümlerin sürelerini, kimi zaman da yapıtın doruk noktasının konumunu altın orana uygun olarak yerleştirdikleri bulunmuştur.

Müziksel ve Matematiksel Öğrenme Arasındaki İlişki

Yapılan birtakım araştırmaların sonuçları, matematik ve müzik alanları arasında bazı ilişkiler olduğunu ortaya çıkarmıştır. Bunlar genellikle matematikle ilgili kavramların öğrenilmesi ve matematiksel düşünmenin, muhakemenin geliştirilmesi üzerine müziğin etkisini konu almaktadır. Müzik, zeka ve öğrenme arasındaki ilişkinin var olduğu konusunda bulgulara ulaşan araştırmalar giderek müziğin, çocuğun beyin gelişimine olan olumlu katkıları olduğunu ortaya çıkarmaktadır. Müziğin, özellikle matematiksel ve bazı soyut kavramları öğrenme üzerine olumlu etkileri vardır. Mozart’ın bir piyano sonatını üniversite öğrencilerinden oluşan bir gruba on dakika dinlettikten sonra uzaysal algılama test puanlarında görülen artış, müzik eğitimi uygulanan 3-12 yaşları arasındaki çocukları kapsayan çalışmaların analizlerinde de görülmüştür. Uzaysal muhakeme, pek çok alan ve oran, yüzde gibi matematikteki temel kavramlar için önemlidir.

Müzik eğitiminin matematiksel yetenekleri etkilediğini gösteren başka bir araştırmada, ilköğretim okulu ikinci sınıf öğrencilerine dört aylık bir piyano eğitimi verildiği zaman (deneklere uygulanan matematik öğretimi içinde) özellikle oran ve kesirlerle ilgili öğrenme başarısında gelişme görülmüştür. İki yıl bireysel olarak keyboard öğretilen çocukların standartlaştırılmış bir aritmetik testinden, bilgisayar destekli öğretim uygulanan kontrol grubuna göre daha yüksek puan aldıklarını ortaya konulmuştur. Şarkı söyleme eğitimi uygulanan çocuklar da kontrol grubundakilere göre daha yüksek puan alırlarken ritim enstrümanları eğitimi alan çocuklar matematiksel muhakemede en iyi performansı göstermişlerdir.

 

Sonuç olarak yukarıda yer alan örneklerin tümü, matematik ve müziğin ilişkisini örnek alarak bilim ve sanatın iç içeriğini vurguluyor. Burada özellikle klasik dönemin büyük bestecilerinin, yukarıda değinilen ‘altın oran’ gibi matematiksel ilişkileri bilerek ve kullanarak değil, sanatsal sezgilerine dayanarak yarattıklarını, bu yapıtlardaki matematiksel özelliklerin, sonradan yapılan incelemelerle kısmen saptandığını da belirtmek gerekir. Müziğin mantığa ve hesaplamaya dayalı olan yapısı, bilim ve teknoloji ile birlikteliğini kaçınılmaz kılarak günümüzde özellikle bilgisayar teknolojisinin müziğin üretiminden analizine kadar çok çeşitli işlemlerinde kullanılabilmesini sağlamaktadır.

Bu haftaki yazımızı sizlerle paylaştık. Keyifli okumalar dileriz.

Yazımız hakkında görüşlerinizi bildirmeyi unutmayın!

Blog  Yazarı: Damla AYDIN